고유값,고유벡터, 고유값 분해

1. 고유값과 고유 벡터

참고 : http://doctory.egloos.com/10224327

A를 하나의 Square matrix라고 하면 x vector에 대해 다음과 같이 쓸 수 있다.

우변의    는 상수이며 A의 고유값 이라고 한다.

이를 기하학적으로 생각해보면,

Square matrix A와 vector x의 곱(우변)이 상수    와 vector곱으로 표현(좌변)되었으므로,

Vector x가 A에 의해 선형변환이 되면 A의 고유값인 상수    만큼 scale의 변화만 가지는 영역으로 표현 된다는 의미이다.

이때, 두 영역 모두에서 고유한 값을 가지는 vector x가 고유 값이라고 한다.

(고유벡터들은 서로 직교 한다. 그리고 일반적으로 normalize된 값으로 표현한다)

다시말해,

좌변에서는 고유 벡터 x의 회전변환을 A 행렬이 가할 수 있지만, 우변에서는 단지 상수    에 의해서 고유 벡터의 스케일의 변화만 있을 수 있다.

그렇기 때문에 변환된 space에서는 변하지 않는 일정한 axes(기저)를 고유 벡터를 통해 나타 낼 수 있다.

2. 고유값 분해

A가 symetric 한 성질을 가지고 있으면 다음과 같이 A를 고유 분해 할 수 있다.

P: 고유벡터들을 열벡터로 가지는 벡터

D: Eigen value 를 diagonal하게 가지는 행렬

임의의 B행렬이 있을 때    라면

A는 symmetry matrix이다.

그러면 A의 Eigen Vector U는 unitary matrix이다.

(unitary matrix : 모든 성분이 서로 orthogonal 하고, 각 성분은 normalized)

unitary matrix는 다음과 같은 성질을 가진다.

(1)식에 이를 대입하면

즉 symmetric한 행렬 A는 다음과 같이 분해 될 수 있다.

이를 고유 값 분해라고 한다.